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所以椭圆C的方程为:x22+y2=1frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1。”
仅仅两分钟,第一问便被他轻松拿下。
“第二问,设直线l与椭圆C交于A,B两点,若点P(1,12)满足PA向量+PB向量=0向量,求直线l的斜率k。”
“PA+PB=0,意味着P是AB的中点。
利用点差法或者韦达定理……”
秦风的笔尖在草稿纸上飞舞,各种解题方法在他脑海中闪现,并被迅速筛选出最优路径。
设直线l的方程为y?12=k(x?1)y-frac{1}{2}=k(x-1)y?21=k(x?1),代入椭圆方程,消去y,得到一个关于x的一元二次方程。
(1+2k2)x2?(4k2?2k)x+(2k2?2k?32)=0(1+2k^2)x^2-(4k^2-2k)x+(2k^2-2k-frac{3}{2})=0(1+2k2)x2?(4k2?2k)x+(2k2?2k?23)=0
利用韦达定理xA+xB=4k2?2k1+2k2x_A+x_B=frac{4k^2-2k}{1+2k^2}xA+xB=1+2k24k2?2k。
因为P是AB中点,所以xP=xA+xB2=1x_P=frac{x_A+x_B}{2}=1xP=2xA+xB=1。
4k2?2k2(1+2k2)=1frac{4k^2-2k}{2(1+2k^2)}=12(1+2k2)4k2?2k=1
解这个关于k的方程,得到k=?1k=-1k=?1。
“第二问,k=-1,也解决了!”
秦风的嘴角不自觉地勾起一抹笑容。
这种攻克难题的快感,是他以前从未体验过的!
真正的挑战,是第三问。
“第三问,在第二问的条件下,过点P作直线m垂直于l,交椭圆C于M,N两点。
试问是否存在一个常数λ,使得|PM|·|PN|=λ|PA|·|PB|恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由。”
这一问,涉及弦长公式、向量模长、以及恒成立问题,计算量和思维难度都陡然提升了好几个档次。
秦风的眉头微微蹙起。
他能感觉到,这一问的难度,已经超出了他刚刚强行记忆下来的那些“套路”
所能直接解决的范畴。
它需要更深层次的理解和更灵活的运用。
“冷静……仔细分析……”
秦风闭上眼睛,脑海中刚刚“吞”
下去的无数知识点如同星辰般闪耀。
直线l的斜率为-1,则直线m的斜率为1。
直线m的方程为y?12=1(x?1)y-frac{1}{2}=1(x-1)y?21=1(x?1),即y=x?12y=x-frac{1}{2}y=x?21。
将直线m的方程代入椭圆方程x22+y2=1frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1,得到关于x的一元二次方程:
x22+(x?12)2=1frac{x^2}{2}+(x-frac{1}{2})^2=12x2+(x?21)2=1
x22+x2?x+14=1frac{x^2}{2}+x^2-x+frac{1}{4}=12x2+x2?x+41=1
32x2?x?34=0frac{3}{2}x^2-x-frac{3}{4}=023x2?x?43=0
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6x2?4x?3=06x^2-4x-3=06x2?4x?3=0
设M(x?,y?),N(x?,y?),则x1+x2=46=23x_1+x_2=frac{4}{6}=frac{2}{3}x1+x2=64=32,x1x2=?36=?12x_1x_2=-frac{3}{6}=-frac{1}{2}x1x2=?63=?21。
∣PM∣?∣PN∣=(x1?xP)2+(y1?yP)2?(x2?xP)2+(y2?yP)2|PM|cdot|PN|=sqrt{(x_1-x_P)^2+(y_1-y_P)^2}cdotsqrt{(x_2-x_P)^2+(y_2-y_P)^2}∣PM∣?∣PN∣=(x1?xP)2+(y1?yP)2?(x2?xP)2+(y2?yP)2
由于点M,N在直线y=x?12y=x-frac{1}{2}y=x?21上,且P(1,12)也在这条直线上(因为直线m过P点),所以PM和PN的表达式可以简化。
实际上,P是弦MN上的一个定点。
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