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第7章 技惊四座这解法太完美了（第2页）

清脆的摩擦声响起，打破了教室内的死寂。

解：

一个清晰而有力的“解”

字，如同点睛之笔，瞬间吸引了所有人的目光。

紧接着，秦风的笔尖开始在黑板上飞舞起来。

（1）由题意知，e=ca=22e=frac{c}{a}=frac{sqrt{2}}{2}e=ac=22，则a2=2c2a^2=2c^2a2=2c2

又因为a2=b2+c2a^2=b^2+c^2a2=b2+c2，所以$2c^2=b^2+c^2......直线PF2的斜率，直线PF?的斜率，直线PF2的斜率k_{PF_2}=frac{y}{x-c}。

由k_{PF_1}cdotk_{PF_2}=-frac{1}{2}，得，得，得frac{y^2}{（x+c）（x-c）}=-frac{1}{2}，即frac{y^2}{x^2-c^2}=-frac{1}{2}。

因为点P（x，y）在椭圆上，所以。

因为点P（x，y）在椭圆上，所以。

因为点P（x，y）在椭圆上，所以frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1，即，即，即y^2=b^2（1-frac{x^2}{a^2}）。

代入上式，并结合。

代入上式，并结合。

代入上式，并结合b^2=c^2及及及a^2=2c^2得：frac{c^2（1-frac{x^2}{2c^2}）}{x^2-c^2}=-frac{1}{2}frac{c^2-frac{x^2}{2}}{x^2-c^2}=-frac{1}{2}2（c^2-frac{x^2}{2}）=-（x^2-c^2）2c^2-x^2=-x^2+c^22c^2=c^2$

“嗯？”

秦风写到这里，眉头微微一蹙。

这个结果显然是错误的。

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台下，高远嘴角的讥诮更浓了：“怎么？这就卡住了？看来‘大数学家’的水平也不过如此嘛！”

一些同学也忍不住发出了低低的嗤笑声。

秦风却恍若未闻，他的大脑在飞速运转。

系统虽然给出了最优路径，但具体的推导和计算，依然需要他自己完成。

刚才的推导过程中，显然有一个细节被他忽略了，或者说，系统给出的“斜率之积”

这个条件，可能有更简洁的应用方式。

“点P在椭圆上，斜率之积……椭圆的第二定义？

不对……等等，y2=?12（x2?c2）y^2=-frac{1}{2}（x^2-c^2）y2=?21（x2?c2），这个形式……”

秦风的目光再次扫过题目条件，脑海中灵光一闪！

“我明白了！”

他迅速擦掉了刚才推导错误的部分，粉笔尖再次点向黑板。

由kPF1-kPF2=?b2a2k_{PF_1}cdotk_{PF_2}=-frac{b^2}{a^2}kPF1?kPF2=?a2b2是椭圆的一个固有性质（当焦点在x轴上时，对于非顶点P，其与两焦点连线斜率之积为常数?b2a2-frac{b^2}{a^2}?a2b2）。

因此，?b2a2=?12-frac{b^2}{a^2}=-frac{1}{2}?a2b2=?21，即a2=2b2a^2=2b^2a2=2b2。

......

所以，椭圆C的标准方程为：x22+y2=1frac{x^2}{2}+y^2=12x2+y2=1

行云流水！

当秦风写下椭圆标准方程的那一刻，台下那些原本准备看笑话的同学，脸上的表情都微微一僵。

虽然第一问相对简单，但秦风刚才那短暂的停顿、迅速的纠错、以及最后那句“椭圆的固有性质”

，都显示出他对椭圆知识点的掌握，似乎……并没有他们想象中那么不堪？